El cono de Demócrito

    Plutarco nos ha trasmitido en su tratado De communibus notitiis aduersus Stoicos, 39, la paradoja del cono debida a Demócrito de Abdera, el filósofo sonriente contrapuesto tradicionalmente a Heraclito el llorón. Escribe Plutarco que Demócrito planteó científicamente y con acierto (φυσικῶς καὶ ἐπιτυχῶς) el siguiente dilema: si un cono es seccionado en un plano paralelo a la base, ¿cómo habremos de concebir las superficies de los segmentos, iguales o desiguales? (εἰ κῶνος τέμνοιτο παρὰ τὴν βάσιν ἐπιπέδῳ, τί χρὴ διανοεῖσθαι τὰς τῶν τμημάτων ἐπιφανείας, ἴσας ἢ ἀνίσους γιγνομένας). 

 

    No hace falta pensar en figuras geométricas abstractas. Podemos recurrir para el experimento que nos propone Demócrito a imaginar el cucurucho de un helado, o un cono vial de seguridad de esos que ponen en las carreteras, o una simple zanahoria. Imaginemos que hacemos paralelamente a la base un corte limpio, lo más limpio posible, sin adherencias de ninguna clase. Y ahora hagámonos la pregunta: ¿las superficies de los segmentos que hemos cortado y que sostenemos una en cada mano son iguales o son desiguales?

 

    Con esta pregunta aparentemente ingenua nos mete Demócrito en un dilema que no tiene, si es el caso, fácil solución. Pues si son desiguales, harán el cono irregular -anómalo, dice literalmente Plutarco-, al recibir muchas muescas escalonadas y una contextura rugosa; ἄνισοι μὲν γὰρ οὖσαι τὸν κῶνον ἀνώμαλον παρέξουσι, πολλὰς ἀποχαράξεις λαμβάνοντα βαθμοειδεῖς; pero si son iguales, los segmentos serán iguales y el cono adquirirá manifiestamente las propiedades de un cilindro, al estar compuesto de círculos iguales y no desiguales, lo cual es de todo punto absurdo (ἴσων δ᾽ οὐσῶν, ἴσα τμήματα ἔσται καὶ φανεῖται τὸ τοῦ κυλίνδρου πεπονθὼς ὁ κῶνος, ἐξ ἴσων συγκείμενος καὶ οὐκ ἀνίσων κύκλων, ὅπερ ἐστὶν ἀτοπώτατον).

 

    Para Demócrito, el problema del cono expuesto en este pasaje planteaba una verdadera aporía, un callejón sin salida, imposible de solucionar en los términos de su concepción atomista de la realidad, que, al postular unidades mínimas e indivisibles de extensión espacial, como eran los átomos, excluye la divisibilidad infinita de la materia y el concepto abstracto de límite incorpóreo. 

  

     Pero he aquí que Crisipo intentando resolver la aporía de Demócrito afirmará que las superficies no son ni iguales ni desiguales, mientras que los cuerpos son desiguales debido a que las superficies no son ni iguales ni desiguales. Incurre Crisipo en una contradicción flagrante, contraviniendo uno de los principios fundamentales de la lógica clásica que establece que entre dos proposiciones contradictorias como son una afirmación y su negación no se da una tercera posibilidad (tertium non datur): una debe ser necesariamente verdadera y la otra falsa, sin posibilidad de una tercera opción intermedia. Este principio lógico se conoce como el Principio del Tercero Excluido y, junto a los principios de identidad y no contradicción, rige el pensamiento lógico tradicional, implicando que "o es A, o no es A".

 

    Pero he aquí que algunos intérpretes modernos consideran, analizando la solución de Crisipo, que parece que propone una tercera alternativa que para ellos es un atisbo revolucionario de la física antigua de las magnitudes infinitesimales. En el ejemplo del cono que nos ocupa, el concepto de una superficie que no es igual ni desigual a la superficie contigua traduciría el concepto matemático moderno de ‘mayor o igual’, utilizado en el cálculo infinitesimal, ya que la diferencia de magnitud entre tales segmentos, aunque existente, tendería a cero en la superficie de contacto. 

     En este sentido la clave para la correcta interpretación de este pasaje reside en no perder de vista que, para un estoico como Crisipo, al que Plutarco califica de necio, las superficies, así como otros conceptos geométricos como la línea, el punto o el límite, son incorpóreos. Por eso, de cada uno de los segmentos del cono, en cuanto entidades discretas, es posible decir que son desiguales, mientras que de las superficies que, en la línea de contacto, constituyen el límite incorpóreo de cada uno de los segmentos, sólo puede decirse que carecen de existencia física real y, en este caso concreto, no son ni iguales ni desiguales. En virtud de la primera condición, el cono mantiene las propiedades específicas de esta figura geométrica y no se convierte en un cilindro: en virtud de la segunda, el cono evita la aparición de muescas a lo largo de su superficie y no se convierte en un zigurat.

 

    El problema que plantea el cono de Demócrito lo 'resolvería' la matemática moderna con el cálculo infinitesimal y la teoría del paso al límite. Y es que Demócrito de Abdera distinguía bien los dos problemas de la infinita divisibilidad de las cosas: desde un punto de vista matemático abstracto cualquier ser es infinitamente divisible en partes, pero desde un punto de vista físico hay un límite material de la divisibilidad y tal límite se llama precisamente átomo, que como se sabe significa 'indivisible'. 

 

    Entraba así Crisipo sin pretenderlo en la prehistoria del cálculo infinitesimal, siendo esta paradoja una de las primeras tentativas a la hora de afrontar el concepto de infinitésimo. La solución moderna a la aporía la ha dado, según la Ciencia, varios siglos después el cálculo integral: Las secciones son efectivamente diferentes, pero su diferencia de radio tiende a cero a medida que disminuye la distancia entre los planos, garantizando la continuidad de la superficie sin recurrir a «escalones» macroscópicos. 

 

Demócrito y Heraclito, Rubens (1603)

    ¿Qué diría Demócrito de la solución moderna? Demócrito diría, sonriendo como era característico en él, con una sonrisa irónica en este caso, que la solución moderna funciona, pero eso no implica que sea verdadera. El paso al límite afirma un valor que nunca se alcanza a partir de una serie sin fin de aproximaciones finitas, implica llegar a algo suprimiendo precisamente la llegada, cosa que no puede ser.

Coincidentia oppositorum

    Un fragmento de Heraclito de Éfeso, el 49 de la edición de Diels-Kranz dice: Uno para mí diez mil, si es el mejor. En versión original griega: εἷς έμοὶ μύριοι έὰν ἄριστος ἦι. Esta sentencia puede relacionarse, como ya indicó Marcovich en su edición del autor, con el fragmento de Demócrito de Abdera núm. 98 de los mismos D.-K., que dice: La amistad de una persona inteligente es mejor que la de todas las que no lo son juntas, o en la traducción de García Bacca: La amistad de un solo hombre inteligente vale más que la de todos los imbéciles juntos (en griego original ἑνὸς φιλίη ξυνετοῦ κρέσσων ἀξυνέτων πάντων). 

 

     Vienen a decir ambos fragmentos, el de Heraclito y el de Demócrito, que lo importante es la calidad, no la cantidad, porque el número aritmético no debe tenerse en cuenta para nada. Vienen a coincidir así los tradicionalmente opuestos Demócrito, el burlón, y Heraclito, el llorón. 

 

Demócrito riendo y Heraclito llorando, Peter Paul Rubens (1636-1638)
 

      Desde antiguo, en efecto, suelen contraponerse ambos sabios presocráticos,  ya en la propia literatura grecolatina, de lo que nos dan cuenta muchos tratamientos pictográficos y literarios: un Heraclito llorón contrapuesto a un Demócrito contento y sonriente frente al mundo y sus vicisitudes, como dos actitudes ante la vida, como si dijéramos optimismo y pesimismo.

 

    Baltasar Gracián, por ejemplo entre nosotros, en su Agudeza y arte de ingenio (1648) dice al respecto: Extravagantes y paradojos fueron los dos encontrados sabios, Demócrito y Heráclito; aquél, de todas las cosas se reía, éste, de todas lloraba: con que significaron bien la miseria de la vida humana. Sor Juana Inés de la Cruz, por su parte, recoge la contraposición en sus versos: Uno dice que de risa / sólo es digno el mundo vario; / y otro que sus infortunios / son sólo para llorados. Viene la monja a decirnos que en el mundo todo es opinión, es decir, que todo depende del cristal o de la actitud con que se considere. 

 

    Pero frente a esta contraposición entre risa y llanto ante los males del mundo, cabe decir que así como no hay razones para la una tampoco las hay para el otro, y que quizá la solución de la antinomia sea estar en la tristeza contento, y en la alegría triste: IN TRISTITIA HILARIS, IN HILARITATE TRISTIS. O mejor, combatir la tristeza con la hilaridad, y la hilaridad con la tristeza. 

 

    Sin embargo, ambos sabios coinciden -coincidientia oppositorum- de alguna forma en estos fragmentos que estamos comparando en el valor de la calidad por encima de la cantidad. 

 

    Vale más la mejoría que la mayoría. Ahora bien ¿en qué consiste esa mejoría? El fragmento de Heraclito lo deja en el aire, pero el de Demócrito lo dice bien claro: En la inteligencia, una inteligencia que no se adquiere por la suma de personas y pareceres personales, cada cual con su opinión por aquello de que a cada uno le corresponde la suya propia, como nos recuerda el verso de Terencio tan repetido y proverbial: quot homines, tot sententiae, suus cuique mos, que reformularíamos mejor como quot homines, tot opiniones: cuantos hombres, tantas opiniones, cada cual la suya propia. 

 

    La inteligencia, precisamente, consiste en apartarse de las opiniones personales y en seguir la razón que a todos nos es común, como podemos reconocer a cada paso que damos y nos topamos con ella, si nuestras creencias e ideas y opiniones propias no nos lo impiden, razón a la que Antonio Machado llama Verdad, con mayúscula: ¿Tu verdad? no, la Verdad; / y ven conmigo a buscarla. / La tuya, guárdatela.

¡Oh cabeza digna de una sobredosis de eléboro!

 

    Un grabado antiguo nos invita con sus numerosas citas a reflexionar sobre el estado del mundo. Vemos una cabeza cubierta con el gorro de un bufón con un mapamundi en lugar del rostro. El bufón era un figurón cortesano al que se le otorgaba la libertad de expresión que le permitía burlarse de la majestad del rey y decir la verdad al poder, un poco al modo de los soldados romanos que desfilaban detrás del general que celebraba su triunfo, a los que se les consentía en esa ocasión cantar coplas chocarreras como aquella que le decían los legionarios a Julio César: ahí va César, decían, que sometió y se la metió a las Galias, y por eso celebra su triunfo, pero el rey Nicomedes, que sometió y se la metió a César no celebra ningún triunfo.

    El mensaje que transmite este mapa es que el mundo, incluido el Nuevo Mundo, recién descubierto por aquel entonces, y enseguida envejecido -el nuevo no renovó el viejo, sino que este envejeció a aquel globalizándolo.

    A la altura del cuello una cita tomada del Eclesiastés, 1.15 del sabio Salomón: Stultorum infinitus est numerus: el número de los tontos es infinito. Otra cita del Eclesiastés (1.2) aparece grabada en la copa de la parte superior del bastón del bufón a la derecha: Vanitas vanitatum et omnia vanitas: Vanidad de vanidades y todo es vanidad. 

    En el panel de la izquierda puede leeerse: Democritus Abderites deridebat, Heraclites Ephesius deflebat, Epichthonius Cosmopolites deformabat, que nos recuerda el tópico del filósofo que se ríe del mundo (Demócrito) y el que se echa a llorar (Heraclito): Demócrito de Abdera se reía de él" [el mundo], Heráclito de Éfeso lloraba por él. Era un tópico contraponer a los dos sabios y sus dos actitudes críticas ante la falsedad del mundo: echarse a reír o echarse a llorar. Frente a esas dos actitudes, en realidad complementarias y que dependen del estado de ánimo, aparece un nombre propio: Epictonio Cosmopolita lo retrataba. La mención de Demócrito y Heraclito es una clara referencia a un tema literario y artístico de gran recorrido desde el período clásico, con un gran éxito representativo en las artes gráficas y en la literatura durante el Humanismo: el filósofo que llora y el filósofo que ríe, el optimismo y el pesimismo.  

Heraclito y Demócrito, Salvator Rosa (1546-1549)

 

    'Cosmopolita' es la respuesta de Diógenes el cínico: ciudadano del mundo. Y epictonio en griego significa “sobre la tierra”. Es decir que la denominación Epichthonius Cosmopolites es un pseudónimo o manera de escurrir anónimamente el bulto del nombre propio del autor de la caricatura, que quiere decir algo como Ciudadano del mundo que vive en la tierra, o que tiene los pies en el suelo.

    Encima del gorro, aparece el Nosce te ipsum Conócete a ti mismo (versión latina de la sentencia griega "gnothi seauton" supuestamente inscrita en el templo de Apolo en Delfos); (sobre la frente del gorro): "O caput elleboro dignum" / "Oh, cabeza, digna de eléboro" (una planta alucinógena). 

     En las orejas de la gorra aparece Auriculas asini quis non habet? ¿Quién no tiene orejas de burro?, un medio hexámetro (121) de la primera Sátira de Persio, que alude a la leyenda del rey Midas que, como se sabe, fue castigado por el dios Baco que primero le concedió el deseo de convertir en oro todo lo que tocaba, que era lo que más quería, y después se lo quitó por expreso deseo suyo al comprobar los inconvenientes que tenía su deseo, por lo que el dios le castigó haciendo que le crecieran unas largas y peludas orejas de borrico que el rey ocultaba bajo su regia corona. Sólo conocía su secreto un humilde siervo, su peluquero, que no pudiendo guardarlo, abrió un agujero y se lo contó a la tierra, pero las cañas que crecían repitieron “El rey tiene orejas de burro” una y otra vez, como el niño aquel del cuento del traje nuevo del emperador de Andersen que osó gritar que el rey estaba desnudo. Parece ser que Persio había escrito originalmente: El rey Midas tiene orejas de burro, pero que fue corregido por su editor y maestro el filósofo estoico Cornuto porque era una alusión directísima al emperador Nerón.

    La cita en latín que aparece justo encima del mapa procede, ligeramente modificada, de la "Historia Natural" de Plinio el Viejo (libro II cap. 68): Hic est mundi punctus et materia gloriae nostrae, haec sedes, hic honores gerimus, hic exercemus imperia, hic opes cupimus, hic tumultuatur humanum genus, hic instauramus bella, etiam civilia:  Este es el punto del mundo y la sustancia de nuestra gloria, esta nuestra sede, aquí desempeñamos cargos públicos, aquí ocupamos puestos de mando, aquí codiciamos las riquezas, aquí bulle el género humano, aquí organizamos guerras, incluso civiles.

    Las insignias del cinturón decorativo que cruza el hombro de la figura de la izquierda dicen: O curas hominum!, O quantum est in rebus inane! ¡Cuitas humanas! ¡Oh, cuánto vacío hay en el mundo!, que es el primer hexámetro de las "Sátiras" de Aulo Persio Flaco. A continuación dos citas bíblicas: Stultus factus est omnis homo: Todos los hombres carecen de sentido (Jer. 10.14) y Universa vanitas omnis homo Entera vanidad todo hombre (Salmo 39.6) o No dura más que un soplo todo hombre, en la traducción de Nácar-Colunga.

    El nombre escrito en la esquina superior izquierda, Orontius Fineus, es la versión latinizada del cartógrafo francés Oronce Finé, que murió en 1555, pero el mapa que nos ocupa fue realizado décadas después.

Desnuda, la verdad

 “...y la verdad desnuda” Francisco de Quevedo.

La verdad saliendo del pozo, J-L. Gérôme (1896)

El cuadro de Jean-Léon Gérôme “La verdad saliendo del pozo” alude, al parecer a unas palabras del filósofo griego Demócrito, que vivió a caballo entre los siglos V y IV antes de Cristo, que nos transmite Diógenes Laercio en sus Vidas y opiniones de los filósofos ilustres, y que en su lengua griega (“una lengua sonora de supremos encantos, / la más bella nacida de unos labios humanos” según cantó el poeta), dicen así: ἐτεῇ δὲ οὐδὲν ἴδμεν: ἐν βυθῷ γὰρ ἡ ἀλήθεια, lo que quiere decir: pero en realidad nada sabemos; pues la verdad está en el pozo. La palabra que traducimos por pozo βυθo/j significa también abismo, fondo, fondo del mar, fondo del agua. Viene a decirnos Demócrito que la verdad, como las famosas llaves de la cantilena infantil, están en el fondo del mar, matarilerilerile, en el fondo del mar, matarilerilerón o, como “nuestro gozo en un pozo”, donde es la rima consonante fácil la que ha originado el dicho. 

Séneca escribe en De beneficiis VII, 1, 5, quizá influenciado por Demetrio el cínico, según reconoce: Inuoluta ueritas in alto latet: Envuelta, la verdad yace oculta en el fondo del mar. Y al final de sus Naturales Quaestiones VII, 34: At mehercule (...) uix ad fundum ueniretur, in quo ueritas posita est, quam nunc in summa terra et leui manu quaerimus. Y sin embargo... apenas llegaríamos, a fe mía, al fondo del abismo en que está colocada la verdad, que hoy nuestra indolente mano busca en la superficie de la tierra

Pero la verdad del lienzo de Gérôme, a diferencia de la del filósofo griego, está saliendo del pozo y está, además, desnuda. ¿Por qué está desnuda la verdad que emerge? La palabra griega alétheia (ἀλήθεια), que traducimos por verdad, significa en realidad “descubrimiento”,  “sin tapujos”, compuesta como está del prefijo negativo a- "no" y de létheia "ocultamiento", y por lo tanto, quiere decir desvelamiento, que es la operación de quitar los velos, de sacar a la luz. Se la representa desnuda porque no tiene nada que ocultar.

Nuda Veritas, Gustav Klimt, 1889

El cuadro que pintó Gustav-Klimt en 1889 titulado “Nuda Veritas”, esto es, “La verdad desnuda”, lleva un texto del poeta alemán Friedrich Schiller en su encabezamiento que dice: Kannst du nicht allen durch deine That (forma arcaica por Tat) und dein Kunstwerk, mach es wenigen recht. Vielen gefallen ist schlimm. 'Si no puedes gustar a todos con tu modo de actuar y tu arte, contenta a unos pocos. Gustar a muchos es peligroso”. La inscripción, se combina con la desnudez de la figura femenina que representa a la Verdad y que sostiene un espejo en el que no se mira ella, sino que, vuelto a los espectadores, nos invita a mirarnos nosotros en él. 

 Nec mergitur o La Verdad saliendo del pozo, Édouard Debat-Ponsan (1898)

Nec mergitur o La Vérité sortant du puits de Édouard Debat-Ponsan representa a la Verdad semidesnuda saliendo del pozo, como en la tela de Gérôme, y con el espejo para que nos miremos en él, al igual que el lienzo de Klimt, pero sus enemigos (un noble enmascarado y un clérigo) pretenden que no salga y que se hunda. Sin embargo ella, como el lema de la ciudad de París no se hunde en el pozo, “fluctuat nec mergitur”: es batida por las olas y no se hunde, porque la verdad, igual que el aceite en el agua acaba siempre saliendo a flote, sube siempre a la superficie pese a todos los pesares.

Cuenta una leyenda cuya fuente desconozco que un día se cruzaron la Verdad y la Mentira en su camino, se saludaron y trabaron conversación enseguida y amistad. La Mentira comentó que hacía un día espléndido y que las aguas del lago invitaban a sumergirse en ellas, lo que era verdad, por cierto, y le propuso cordialmente a la otra: -¿Por qué no nos damos un baño? Dicho y hecho. Ambas, que vestían de modo muy diverso, se desnudaron, pues no se habían inventado todavía los sedicentes "trajes de baño" y la gente se bañaba sin falso pudor en cueros. Se lanzaron, pues, a disfrutar del baño desnudas como estaban. Al cabo de unos instantes, la Mentira, no poco envidiosa, salió corriendo del agua y le robó la ropa a la otra, dejando la suya a cambio, que era mucho más andrajosa, y huyó alejándose de allí y gritando: "Hay que guardar la ropa antes de echarse a nadar, amiga mía". La Verdad, entristecida, salió del agua y vio lo que le había dejado la otra. No quiso vestir aquellos hábitos andrajosos que había dejado la Mentira, y decidió permanecer desnuda, pero todos los que la veían se alejaban escandalizados de ella. Conque, entristecida, decidió volver hacia atrás y sumergirse en el líquido elemento del lago. Desde entonces la gente prefiere aceptar a la Mentira disfrazada de Verdad que a la Verdad desnuda que, sin embargo, acabará irrumpiendo algún día, desnuda como está, y saliendo a la superficie...