Plutarco nos ha trasmitido en su tratado De communibus notitiis aduersus Stoicos, 39, la paradoja del cono debida a Demócrito de Abdera, el filósofo sonriente contrapuesto tradicionalmente a Heraclito el llorón. Escribe Plutarco que Demócrito planteó científicamente y con acierto (φυσικῶς καὶ ἐπιτυχῶς) el siguiente dilema: si un cono es seccionado en un plano paralelo a la base, ¿cómo habremos de concebir las superficies de los segmentos, iguales o desiguales? (εἰ κῶνος τέμνοιτο παρὰ τὴν βάσιν ἐπιπέδῳ, τί χρὴ διανοεῖσθαι τὰς τῶν τμημάτων ἐπιφανείας, ἴσας ἢ ἀνίσους γιγνομένας).
No hace falta pensar en figuras geométricas abstractas. Podemos recurrir para el experimento que nos propone Demócrito a imaginar el cucurucho de un helado, o un cono vial de seguridad de esos que ponen en las carreteras, o una simple zanahoria. Imaginemos que hacemos paralelamente a la base un corte limpio, lo más limpio posible, sin adherencias de ninguna clase. Y ahora hagámonos la pregunta: ¿las superficies de los segmentos que hemos cortado y que sostenemos una en cada mano son iguales o son desiguales?
Con esta pregunta aparentemente ingenua nos mete Demócrito en un dilema que no tiene, si es el caso, fácil solución. Pues si son desiguales, harán el cono irregular -anómalo, dice literalmente Plutarco-, al recibir muchas muescas escalonadas y una contextura rugosa; ἄνισοι μὲν γὰρ οὖσαι τὸν κῶνον ἀνώμαλον παρέξουσι, πολλὰς ἀποχαράξεις λαμβάνοντα βαθμοειδεῖς; pero si son iguales, los segmentos serán iguales y el cono adquirirá manifiestamente las propiedades de un cilindro, al estar compuesto de círculos iguales y no desiguales, lo cual es de todo punto absurdo (ἴσων δ᾽ οὐσῶν, ἴσα τμήματα ἔσται καὶ φανεῖται τὸ τοῦ κυλίνδρου πεπονθὼς ὁ κῶνος, ἐξ ἴσων συγκείμενος καὶ οὐκ ἀνίσων κύκλων, ὅπερ ἐστὶν ἀτοπώτατον).
Para Demócrito, el problema del cono expuesto en este pasaje planteaba una verdadera aporía, un callejón sin salida, imposible de solucionar en los términos de su concepción atomista de la realidad, que, al postular unidades mínimas e indivisibles de extensión espacial, como eran los átomos, excluye la divisibilidad infinita de la materia y el concepto abstracto de límite incorpóreo.
Pero he aquí que Crisipo intentando resolver la aporía de Demócrito afirmará que las superficies no son ni iguales ni desiguales, mientras que los cuerpos son desiguales debido a que las superficies no son ni iguales ni desiguales. Incurre Crisipo en una contradicción flagrante, contraviniendo uno de los principios fundamentales de la lógica clásica que establece que entre dos proposiciones contradictorias como son una afirmación y su negación no se da una tercera posibilidad (tertium non datur): una debe ser necesariamente verdadera y la otra falsa, sin posibilidad de una tercera opción intermedia. Este principio lógico se conoce como el Principio del Tercero Excluido y, junto a los principios de identidad y no contradicción, rige el pensamiento lógico tradicional, implicando que "o es A, o no es A".
Pero he aquí que algunos intérpretes modernos consideran, analizando la solución de Crisipo, que parece que propone una tercera alternativa que para ellos es un atisbo revolucionario de la física antigua de las magnitudes infinitesimales. En el ejemplo del cono que nos ocupa, el concepto de una superficie que no es igual ni desigual a la superficie contigua traduciría el concepto matemático moderno de ‘mayor o igual’, utilizado en el cálculo infinitesimal, ya que la diferencia de magnitud entre tales segmentos, aunque existente, tendería a cero en la superficie de contacto.
En este sentido la clave para la correcta interpretación de este pasaje reside en no perder de vista que, para un estoico como Crisipo, al que Plutarco califica de necio, las superficies, así como otros conceptos geométricos como la línea, el punto o el límite, son incorpóreos. Por eso, de cada uno de los segmentos del cono, en cuanto entidades discretas, es posible decir que son desiguales, mientras que de las superficies que, en la línea de contacto, constituyen el límite incorpóreo de cada uno de los segmentos, sólo puede decirse que carecen de existencia física real y, en este caso concreto, no son ni iguales ni desiguales. En virtud de la primera condición, el cono mantiene las propiedades específicas de esta figura geométrica y no se convierte en un cilindro: en virtud de la segunda, el cono evita la aparición de muescas a lo largo de su superficie y no se convierte en un zigurat.
El problema que plantea el cono de Demócrito lo 'resolvería' la matemática moderna con el cálculo infinitesimal y la teoría del paso al límite. Y es que Demócrito de Abdera distinguía bien los dos problemas de la infinita divisibilidad de las cosas: desde un punto de vista matemático abstracto cualquier ser es infinitamente divisible en partes, pero desde un punto de vista físico hay un límite material de la divisibilidad y tal límite se llama precisamente átomo, que como se sabe significa 'indivisible'.
Entraba así Crisipo sin pretenderlo en la prehistoria del cálculo infinitesimal, siendo esta paradoja una de las primeras tentativas a la hora de afrontar el concepto de infinitésimo. La solución moderna a la aporía la ha dado, según la Ciencia, varios siglos después el cálculo integral: Las secciones son efectivamente diferentes, pero su diferencia de radio tiende a cero a medida que disminuye la distancia entre los planos, garantizando la continuidad de la superficie sin recurrir a «escalones» macroscópicos.
¿Qué diría Demócrito de la solución moderna? Demócrito diría, sonriendo como era característico en él, con una sonrisa irónica en este caso, que la solución moderna funciona, pero eso no implica que sea verdadera. El paso al límite afirma un valor que nunca se alcanza a partir de una serie sin fin de aproximaciones finitas, implica llegar a algo suprimiendo precisamente la llegada, cosa que no puede ser.